Χρονοστρατηγική και Φασματική Θεωρία Γραφημάτων

Του Νίκου Λυγερού

Αν η Χρονοστρατηγική φαίνεται πολύ αφαιρετική σε σχέση με τη γεωστρατηγική και την τοποστρατηγική είναι διότι το μαθηματικό υπόβαθρο είναι πολυπλοκότερο λόγω της θεωρίας των διακλαδώσεων και των υπερχορδών. Υπάρχει όμως ένα πλαίσιο που επιτρέπει την κατανόηση των στοιχείων της χρονοστρατηγικής, και αυτό είναι η Φασματική θεωρία Γραφημάτων. Η αρχική ιδέα είναι η μελέτη των γραφημάτων μέσω των τεχνικών της άλγεβρας κάνοντας το φάσμα κυρίαρχο στοιχείο. Με τον πίνακα γειτνίασης μπορούμε να μελετήσουμε τοπολογικά το γράφημα ανεξάρτητα από την απόσταση, πράγμα το οποίο επιτρέπει μία ανάλυση δίχως γεωμετρία. Έτσι είμαστε ικανοί να βρούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα, αλλά βέβαια να έχουμε και μια εικόνα για το φάσμα του πίνακα. Αντί όμως να πάρουμε ως αρχικό στάδιο τον πίνακα γειτνίασης και μόνο, μπορούμε να αξιοποιήσουμε τον πίνακα Laplace του γραφήματος που διακρίνει πιο αποτελεσματικά γραφήματα που δεν είναι ισόμορφα. Και υπάρχει και ο ανάλογος πίνακας του Laplace αλλά χωρίς πρόσημο που είναι ακόμα πιο ανθεκτικός για τέτοιου τύπου ανάλυση. Αυτά τα εργαλεία είναι ικανά να ενισχύσουν τη στρατηγική του χρόνου αφού με αυτά μπορούμε να διαχωρίσουμε τις χρονικές καμπύλες κλειστές ή όχι. Το θεώρημα του Gersgorin, το αποτέλεσμα του Schur, τα διανύσματα Fiedler είναι χρήσιμα στους αλγόριθμους για παράλληλους υπολογισμούς με κοινή μνήμη. Αυτό το πεδίο είναι και ο χώρος δράσης των χρονικών μονάδων, δηλαδή των υπερχορδών αφού δεν είναι ανεξάρτητες και συνεχίζονται. Με την προσέγγιση του Merris μπορούμε επίσης να εξετάσουμε ποσοτικά πάνω στο φάσμα του γραφήματος τις επιπτώσεις της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης μίας ακμής, με άλλα λόγια της ύπαρξης ή όχι μίας σχέσης στο πλαίσιο της θεωρίας σχέσεων. Έτσι μπορούμε να αναλύσουμε αλγεβρικά και συνδυαστικά τις αλλαγές στη δράση και την ανάδραση των υπερχορδών της χρονοστρατηγικής και την εφαρμογή των νοητικών σχημάτων της στη στρατηγική ανάλυση της πραγματικότητας και βέβαια και της επόμενης για να δούμε την πρόβλεψη σε διαχρονικό επίπεδο.

Πηγή: http://www.lygeros.org/articles.php?n=13815&l=gr

Advertisements